線(xiàn)性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，研究線(xiàn)性方程及其在向量空間中使用矩陣的表示。換句話(huà)說(shuō)，線(xiàn)性代數(shù)是對(duì)線(xiàn)性函數(shù)和向量的研究。它是數(shù)學(xué)中最核心的課題之一。大多數(shù)現(xiàn)代幾何概念都基于線(xiàn)性代數(shù)。

線(xiàn)性代數(shù)有助于許多自然現(xiàn)象的建模，因此是工程學(xué)和物理學(xué)不可分割的一部分。線(xiàn)性方程組、矩陣和向量空間是這門(mén)學(xué)科的主要組成部分。在本文中，我們將進(jìn)一步了解線(xiàn)性代數(shù)及其各種相關(guān)主題。

一、什么是線(xiàn)性代數(shù)?

線(xiàn)性代數(shù)可以定義為研究向量空間中線(xiàn)性函數(shù)的數(shù)學(xué)分支。當(dāng)與線(xiàn)性函數(shù)相關(guān)的信息以有組織的形式表示時(shí)，就得到了矩陣。因此，線(xiàn)性代數(shù)涉及向量空間、向量、線(xiàn)性函數(shù)、線(xiàn)性方程組和矩陣。這些概念是學(xué)習(xí)幾何和函數(shù)分析等姊妹課程的前提條件。

二、線(xiàn)性代數(shù)的定義

處理向量、矩陣、有限或無(wú)限維空間以及這些空間之間的線(xiàn)性映射的數(shù)學(xué)分支被定義為線(xiàn)性代數(shù)。它既用于純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)，也用于物理學(xué)、工程學(xué)、自然科學(xué)等各種技術(shù)形式。

三、線(xiàn)性代數(shù)的分支

線(xiàn)性代數(shù)可分為三個(gè)分支，具體取決于每個(gè)分支所涉及課題的難度和類(lèi)型。它們分別是初等線(xiàn)性代數(shù)、擴(kuò)展線(xiàn)性代數(shù)和應(yīng)用線(xiàn)性代數(shù)。每個(gè)分支涵蓋矩陣、向量和線(xiàn)性函數(shù)的不同方面。

1.初級(jí)線(xiàn)性代數(shù)

初級(jí)線(xiàn)性代數(shù)向?qū)W生介紹線(xiàn)性代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)。這包括矩陣的簡(jiǎn)單運(yùn)算、線(xiàn)性方程組的各種計(jì)算以及向量的某些方面。下面列出了一些與初級(jí)線(xiàn)性代數(shù)有關(guān)的重要術(shù)語(yǔ)：

標(biāo)量 - 標(biāo)量是一個(gè)只有大小而沒(méi)有方向的量。它是用來(lái)定義向量空間的元素。在線(xiàn)性代數(shù)中，標(biāo)量通常是實(shí)數(shù)。

向量 - 向量是向量空間中的一個(gè)元素。它是一個(gè)既能描述元素方向又能描述元素大小的量。

向量空間 - 向量空間由可以與標(biāo)量相加和相乘的向量組成。

矩陣 - 矩陣是一個(gè)矩形數(shù)組，其中的信息以行和列的形式組織。線(xiàn)性代數(shù)的大多數(shù)性質(zhì)都可以用矩陣來(lái)表示。

矩陣運(yùn)算 - 可以對(duì)矩陣進(jìn)行加、減、乘等簡(jiǎn)單算術(shù)運(yùn)算。

2.高級(jí)線(xiàn)性代數(shù)

在介紹了線(xiàn)性代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)后，本課程將重點(diǎn)講解與線(xiàn)性方程、向量和矩陣有關(guān)的高級(jí)概念。在高級(jí)線(xiàn)性代數(shù)中，會(huì)用到以下重要概念：

線(xiàn)性變換—將一個(gè)函數(shù)從一個(gè)向量空間轉(zhuǎn)換到另一個(gè)向量空間，同時(shí)保留每個(gè)向量空間的線(xiàn)性結(jié)構(gòu)。

逆矩陣--當(dāng)逆矩陣與給定的原矩陣相乘時(shí)，結(jié)果是一個(gè)相同的矩陣。

特征向量--其標(biāo)量系數(shù)(特征值)在線(xiàn)性變換中發(fā)生變化的非零向量。

線(xiàn)性映射是一種保留向量組成和乘法的映射。

3.應(yīng)用線(xiàn)性代數(shù)

應(yīng)用線(xiàn)性代數(shù)通常由應(yīng)用數(shù)學(xué)、工程學(xué)和物理學(xué)的高年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)。本代數(shù)部分側(cè)重于將初級(jí)和高級(jí)線(xiàn)性代數(shù)的概念及其實(shí)際應(yīng)用融為一體。線(xiàn)性代數(shù)部分包括向量規(guī)范、QR 因式分解等主題。

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