常微分方程包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。常微分方程是一個包含變量和因變量對自變量的導(dǎo)數(shù)的方程。常微分方程分為均質(zhì)微分方程和非均質(zhì)微分方程兩種。

讓我們進(jìn)一步了解常微分方程以及求階、求度和求解的過程。

一、什么是常微分方程?

常微分方程(ODE)是具有常導(dǎo)數(shù)(而非偏導(dǎo)數(shù))的方程。微分方程是包含變量和因變量對自變量的導(dǎo)數(shù)的方程。微分方程至少包含一個未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以是常導(dǎo)數(shù)，也可以是偏導(dǎo)數(shù)。其中，常微分方程具有常導(dǎo)數(shù)。在這里，常微分方程通常只被稱為微分方程。

這些常微分方程中導(dǎo)數(shù)的符號為 dy/dx = y''、d2y/dx2 = y'''、d3y/dx3 = y'''、dny/dxn = yn。下面是一些常微分方程的例子。

• (dy/dx) = sin x
• (d²y/dx²) + k²y = 0
• (d²y/dt²) + (d²x/dt²) = x
• (d³y/dx³) + x(dy/dx) - 4xy = 0
• (rdr/dθ) + cosθ = 5

二、常微分方程的階和度

常微分方程的兩個重要方面是微分方程的階和度。讓我們分別詳細(xì)了解一下。

常微分方程的階數(shù)

微分方程的階數(shù)是因變量相對于自變量的最高導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。考慮以下微分方程：dy/dx = ex、(d4y/dx4) + y = 0、(d3y/dx3) + x2(d2y/dx2) = 0。在這些微分方程中，最高導(dǎo)數(shù)分別為一階、四階和三階，因此它們的階數(shù)分別為 1、4 和 3。

一階微分方程：它是階數(shù)等于 1 的一階微分方程。所有導(dǎo)數(shù)形式的線性方程都是一階的。它只有一階導(dǎo)數(shù)，如 dy/dx，其中 x 和 y 是兩個變量，表示為：dy/dx = f(x, y) = y'

二階微分方程：包含二階導(dǎo)數(shù)的方程為二階微分方程。它表示為：d/dx(dy/dx) = d2y/dx2 = f"(x) = y"。

三、常微分方程的階數(shù)

如果微分方程可以用多項式形式表示，那么出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的積分冪稱為微分方程的階數(shù)。微分方程的階數(shù)是方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的冪。要求得微分方程的階數(shù)，我們需要用一個正整數(shù)作為每個導(dǎo)數(shù)的索引。例題

(d4ydx4)3+4(dydx)7+6y=5cos3x

這里微分方程的階數(shù)是 4，度數(shù)是 3。微分方程的階數(shù)和度數(shù)總是正整數(shù)。此外，如果一個微分方程不能用以最高階導(dǎo)數(shù)為前導(dǎo)項的多項式方程來表示，那么該微分方程的階就沒有定義。

四、常微分方程的類型

常微分方程大致分為均質(zhì)微分方程和非均質(zhì)微分方程。讓我們進(jìn)一步了解這兩種微分方程。

均質(zhì)微分方程

所有項的度數(shù)相同的微分方程稱為均質(zhì)微分方程。一般來說，它們可以表示為 P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0，其中 P(x,y) 和 Q(x,y) 是階數(shù)相同的同次函數(shù)。下面是一些同階微分方程的例子。

• y + x(dy/dx) = 0 
• x⁴ + y⁴(dy/dx) = 0